parabolik denklem

yayınım olgusunun,
örneğin bir levhanın ısınmasının matematiksel
çözümlemesinde karşılaşılan kısmi
diferansiyel denklemler sınıfı. En yalın bir
boyutlu parabolik denklem, ince bir çubuğun
çeşitli noktalarındaki sıcaklığın zamana
göre değişimini belirleyen uxx=ut denklemidir.
Burada ut, t ve x değişkenlerinin
fonksiyonu olan u değişkeninin t değişkenine
(zaman) göre kısmi türevi, uxx ise x
değişkenine (baş noktadan uzaklık) göre
ikinci basamaktan kısmi türevidir. Bu yalın
denklemin çözümleri bile oldukça karmaşıktır;
genel olarak bu çözümler denklemin
temel çözümü olarak adlandırılan
e (~x2/4t) ijt ^stej fonksiyonu cinsinden ifade
edilir. Bu türden bir problemin tam
çözümünün belirlenebilmesi için çubuk boyunca
başlangıç sıcaklık dağılımının ve çubuğun
iki ucundaki sıcaklığın nasıl değiştiğinin
de bilinmesi gerekir. Bu ek koşullara
başlangıç değerleri ve sınır değerleri denir.
Benzer iki ve üç boyutlu problemlerde
bölgenin tümündeki başlangıç sıcaklık dağılımı
ile bölgenin sınırı boyunca sıcaklığın
zaman içindeki değişimi bilinmelidir. En
yalın iki boyutlu parabolik denklem uxx
-I- uyy biçiminde, üç boyutlu denklem ise
uxx + Uyy -I- uzz~ut biçimindedir. Bu denklemler
ancak tümüyle düzgün (bölgenin her
yerinde aynı) özellikli ortamlar için geçerlidir;
düzgün olmayan ortamlara ya da başka
tür yayınım olgularına ilişkin denklemler
daha karmaşıktır. Bu denklemler, eğer
verili bölge içinde farklı bir koordinat
sistemi kullanılarak yukarıda belirtilen yalın
biçimde yazılabiliyorsa, gene parabolik
denklem olarak adlandırılır. Örneğin, bir
boyutlu ama daha yüksek basamaktan türevli
auxx + buxt + cutî terimlerini içeren
bir denkleme, b2-4ac=0 koşulu sağlanıyorsa,
böyle bir dönüşüm uygulanabilir. Eğer
a, b, c katsayıları x değişkeninin aldığı
değerlere bağlıysa, bu durumda denklem,
her noktasında b2-4ac=0 koşulunun sağlandığı
bir bölge için paraboliktir.

Share This:

Hakkında SevgiG.

SevgiG.

Cevapla

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar işaretlenmelidir *

*

bool(false)